문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 전자기파 방사 (문단 편집) === 리에나르-비헤르트 퍼텐셜 === [[파일:나무_리에나르 퍼텐셜.png|width=240&align=center]] 그림과 같이 [math(\mathbf{r'}(t'))]의 곡선상에서 움직이는 점전하를 고려해보자. 점 [math(\mathrm{O})]는 원점이고, 점 [math(\mathrm{P})]는 관측점이다. 중요한 것은 관측자와 관계되는 시간은 [math(t)]이다. 그런데 광속보다 전하의 속도가 느린 경우엔 위치의 지체 효과를 무시할 수 있지만, 이제는 광속에 버금가는 빠른 점전하를 고려하고 있기 때문에 위치 또한 지체 효과가 일어난다. 따라서 시각 [math(t)]에서 관측할 때, 지체 효과가 일어나, 실제로 관측되는 전하의 위치는 현재 위치([math(t)]에서의 위치)가 아니라 지연 위치이다. 이것이 생기는 이유는 간단하게 생각할 수 있다. 점전하의 위치는 점전하에서 방사되는 전자기파를 관측함으로써 결정된다. 그러나, 이 전자기파 또한 지체 효과가 생기기 때문에 위치 또한 관측점에선 지연되는 것이다. 즉, ||<:> [math(\displaystyle t' \quad \rightarrow \quad t_{r}=t-\frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')|}{c} )] || 시각의 위치일 때의 전하를 관측하는 것이다. 따라서 뒤처진 퍼텐셜은 ||<:> [math(\begin{aligned}\displaystyle \Phi&=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\iiint_{V} \frac{\rho(\mathbf{r'},\,t_{r})}{\!\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right|}\,{\rm d}V'\\\mathbf{A}&=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\iiint_{V} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r'},\,t_{r})}{\!\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right|}\,{\rm d}V'\end{aligned})] || 으로 주어짐을 고려하자. 전하량 [math(q)]인 점전하를 고려한다고 하자. 그런데 위에서 전하의 위치는 지연 위치에 있다고 했으므로 전하 밀도는 아래와 같이 나타낼 수 있을 것이다. 시간 항이 붙는 것은 현재 운동 중인 전하를 고려하고 있기 때문에 전하 분포는 시간마다 변하므로 특정한 시각에서의 전하 밀도를 측정하기 위해서 [[디랙 델타 함수]]를 이용해 덧붙인 것이다. ||<:> [math(\displaystyle \rho=q\delta^{3}(\mathbf{r'-r'}(t')) \delta \!\left( t'-\!\left[ t-\frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}{c} \right] \right) )] || 따라서 스칼라 퍼텐셜은 ||<:>[math(\displaystyle \Phi=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\int \iiint \frac{\delta^{3}(\mathbf{r'-r'}(t'))}{\!\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right|} \delta \!\left( t'-\!\left[ t-\frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}{c} \right] \right)\,{\rm d}V'{\rm d}t' )]|| 으로 주어진다. 적분 영역은 전하가 있는 온 공간이며, 시간에 대해선 [math(-\infty<:> [math(\displaystyle \Phi=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \delta(t'')}{\!\left| \mathbf{r}-\mathbf{r'}(t') \right|}\,{\rm d}t' )] || 이 때, ||<:> [math(\displaystyle t'' \equiv t'-\!\left[ t-\frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')|}{c} \right] )] || 으로 놓았다. 디랙 델타 함수의 성질 ||<:> [math(\displaystyle \int g(x)\delta(f(x))\,{\rm d}x=\!\left. g(x)\frac{{\rm d}x}{{\rm d}f(x)} \right|_{f(x)=0} )] || 을 이용하면 스칼라 퍼텐셜은 ||<:> [math(\displaystyle \Phi=\!\left. \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')|}\frac{{\rm d}t'}{{\rm d}t''}\right|_{t''=0} )] || 이 된다. 이 때, [math(t')]와 연관된 [math(t)]는 상수이므로 ||<:> [math(\displaystyle \frac{{\rm d}t''}{{\rm d}t'}=1+\frac{1}{c}\frac{{\rm d}|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')|}{{\rm d}t'} )] || 그런데, ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')|}{{\rm d}t'} &=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t'}[ (\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t'))\boldsymbol{\cdot}(\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')) ]^{1/2} \\&=\frac{ \mathbf{r'}(t')\boldsymbol{\cdot}\dfrac{{\rm d}\mathbf{r'} }{{\rm d}t'}-\mathbf{r}\boldsymbol{\cdot} \dfrac{{\rm d}\mathbf{r'}}{{\rm d}t'} }{[ (\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t'))\boldsymbol{\cdot}(\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')) ]^{1/2}} \\&=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')|} \boldsymbol{\cdot} \dfrac{{\rm d}\mathbf{r'}}{{\rm d}t'} \end{aligned} )] || 이므로 따라서 다음이 성립한다. ||<:> [math(\displaystyle \frac{{\rm d}t''}{{\rm d}t'}=1-\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')|} \boldsymbol{\cdot} \frac{1}{c}\dfrac{{\rm d}\mathbf{r'}}{{\rm d}t'} )] || 이제부터 [math(\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t') \equiv \mathbf{R}(t') )]이라 쓰도록 하자. 이 때, ||<:> [math(\displaystyle \frac{1}{c}\frac{{\rm d}\mathbf{r'}}{{\rm d}t'} \equiv \boldsymbol{\beta}(t') )] || 로 정의하도록 하자. 이것은 결국 광속으로 규격화된 전하의 속도가 될 것이다. 따라서 ||<:> [math(\displaystyle \frac{{\rm d}t''}{{\rm d}t'}=\frac{R(t')-\boldsymbol{\beta}(t') \boldsymbol{\cdot} \mathbf{R}(t')}{R(t')} )] || 그런데 위 결과에서 [math(t''=0)]의 조건에서 ||<:> [math(\displaystyle t'=t-\frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}(t')|}{c}=t_{r} )] || 이므로 이제부터 [math(t'=t_{r})]의 지체시간이 된다. 따라서 뒤처진 스칼라 퍼텐셜을 ||<:> [math(\displaystyle \Phi=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{R(t_{r})-\boldsymbol{\beta}(t_{r}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{R}(t_{r})} )] || 으로 쓸 수 있다. 스칼라 퍼텐셜이 결정되었으므로 벡터 퍼텐셜은 쉽게 결정할 수 있다. ||<:> [math(\displaystyle \mathbf{J}(t')=\mathbf{v}(t') \rho(t') )] || 로 쓸 수 있으므로 뒤처진 벡퍼 퍼텐셜은 ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{A}&=\frac{\boldsymbol{\beta}(t_{r})}{c}\Phi \\&=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} c} \frac{\boldsymbol{\beta}(t_{r})}{R(t_{r})-\boldsymbol{\beta}(t_{r}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{R}(t_{r})} \end{aligned} )] || 이상을 요약하면, 광속과 버금가게 빠르게 움직이는 점전하에 대한 뒤처진 스칼라 퍼텐셜과 뒤처진 뒤처진 벡터 퍼텐셜은 아래와 같이 결정된다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi&=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{R-\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{R}} \\ \mathbf{A}&=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} c} \frac{\boldsymbol{\beta}}{R-\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{R}} \end{aligned} )] || 여기서 ||<:> [math(\displaystyle \frac{1}{c}\frac{{\rm d}\mathbf{r'}}{{\rm d}t_{r}} \equiv \boldsymbol{\beta} )] || 로, 광속으로 규격화된 전하의 속도이다. '''각 물리량은 지연 시간에 측정된 것에 유의'''하고, 위와 같은 퍼텐셜을 '''리에나르-비헤르트 퍼텐셜(Liénard–Wiechert potential)'''이라 한다. 위의 퍼텐셜은 프랑스의 물리학자 리에나르(Alfred-Marie Liénard; 1869〜1958)와 독일의 물리학자 비헤르트(Emil Johann Wiechert; 1861〜1928)가 각각 유도한 것이며, 이들의 업적을 기리기 위해 이들의 이름을 붙이게 되었다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기